子供の勉強部屋

ひらめきもやっぱ大事・・・

小6後期の算数テキストから

まず6年生後期のテキストの場合の数から問題を1問。

次の図のような階段があります。この階段を1段上がり、または2段上がりで上がっていくとします。これについて次の問いに答えなさい。
(1)階段が5段のときは、全部で何通りの上がり方がありますか。
(2)階段が6段のときは、全部で何通りの上がり方がありますか。
(3)階段が10段のときは、全部で何通りの上がり方がありますか。

(1)を考えましょう。上がり方としては
@全部1段ずつ上がる
A1段を3回、2段を1回
B1段を1回、2段を2回
が考えられます。
@全部1段ずつというのは、1-1-1-1-1と上がりますので1通り
A1段を3回、2段を1回というのは、
1-1-1-2
1-1-2-1
1-2-1-1
2-1-1-1
上記の4通り。
2段の場所をどこにするのか? 一番右、右から2番目、右から3番目、一番左の4通りで考えることが出来ます。
B1段を1回、2段を2回というのは、
1-2-2
2-1-2
2-2-1
上記の3通り。
これも1段の場所をどこにするのか? 一番左、真ん中、一番右の3通りで考えることが出来ます。
以上のことから1+4+3で8通りと求めることができます。

次に(2)。今度は6段のときですから(1)と同様に考えると、
@全部1段ずつ上がる
A1段を4回、2段を1回
B1段を2回、2段を2回
C全部2段ずつ上がる
@全部1段ずつというのは、1-1-1-1-1-1と上がりますので1通り
A1段を4回、2段を1回というのは、
1-1-1-1-2
1-1-1-2-1
1-1-2-1-1
1-2-1-1-1
2-1-1-1-1
上記の5通り。
2段の場所をどこにするのか? という方法で5通りと考えることが出来ます。
B1段を2回、2段を2回
これは1段を基準にして考えます。
まず1を隣どうしにする場合。
1-1-2-2
2-1-1-2
2-2-1-1
次に1を1つはなす場合。
1-2-1-2
2-1-2-1
最後に1を2つはなす場合。
1-2-2-1
上記から3+2+1で6通り。
C全部2段ずつ上がるというのは、2-2-2しかありませんので1通り。
以上のことから1+5+6+1=13通りと求めることが出来ました。

さて(3)ですが、(1)(2)の方法ではいささかたいへんになるのは目に見えていますね。
そこで、階段が1段〜4段のときは、それぞれ全部で何通りの上がり方があるのか、確認してみます。
階段が1段のとき → 1通りしかありません。
階段が2段のとき → 1-1と上がるか、2と上がるかの2通り
階段が3段のとき → 1-1-1、1-2、2-1の3通り
階段が4段のとき → 1-1-1-1、1-1-2、1-2-1、2-1-1、2-2の5通り
階段が1段から6段までのとき、それぞれ全部で何通りの上がり方があるのかを整理すると、
1、2、3、5、8、13となりました。
さてこれを見て、気づけば(3)は解けたも同然です。
階段が7段のときは、21通り
階段が8段のときは、34通り
階段が9段のときは、55通り
となります。もうわかりましたか? フィボナッチ数列という特殊な数列になっているのです。
1、2、3、5、8、13、21、34、55
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21
13+21=34
21+34=55
そして階段が10段のときは、34+55で89通りあるのです。

さて、この問題ですが、イデアで使っている6年生の後期テキストに出題されています。実際は(1)で5段目まで、(2)で8段目まで、をそれぞれ求める問題になっています。8段目までですと、最初の方法でも十分解答にたどりつけますので、TNTも気づかなかったのですが、とある6年生がこのフィボナッチ数列に気づいていました。・・・負けた・・・という感じですね。・・・やっぱりひらめきも大事ってことですね。

戻る