子供の勉強部屋

応用する力 Aha!

図形のイメージ

長い前置きですが、最後まで読んでください。
イデアで使用している6年生前半のテキストに次のような問題があります。すこし改編していますが、ベーシック講座のテキストですからけっして難しいものではありません。基本的な問題と言えますが、いっしょに考えてみます。

図は、1辺が6pの立方体で、点P、Q、Rはそれぞれ辺AD、CD、AEの真ん中の点です。これについて、次の各問いに答えなさい。(改)

 

(1)3点P、Q、Hを通る平面でこの立体を切ります。このとき、頂点Dをふくむ方の立体は三角すいとなり、その展開図は図のようになります。頂点Dをふくむ方の立体の体積は何立方pですか。

 

(2)頂点Dをふくむ方の立体で、三角形PQHを底面とすると、高さは何pですか。

(1)立方体の見取り図に切断の様子を書き込んでみると、次のようになります。

頂点Dをふくむ方の立体は三角すいですから、 三角形DPQを底面積とし、高さをDHとすると、

よって9立方pと求めることができました。

(2)展開図に立方体の頂点の記号と長さを書き入れます。

 

展開図が正方形になっていることを記憶しておいてください。 まず三角形PQHの面積を求めます。 正方形から三角形を3つ引いて求めます。
正方形・・・6×6=36
DPQ・・・3×3÷2=4.5
PDH・・・3×6÷2=9
QHD・・・3×6÷2=9
よって、三角形PQHは、36−(4.5+9+9)=13.5
(1)で三角すいの体積を9立方pと求めていますので、あとは次の式を逆算をすれば、

高さは2pと求めることができました。

さて、長い前置きでしたが、ここからが今回のメインです。
次の大阪星光中(一部改題しています)の入試問題を考えてみてください。

平らな机の上に2枚の直角三角形の板が図のように置いてあります。板の厚さは考えないものとして、次の問いに答えなさい。(ただし、円すいと三角すい)の体積は、底面積×高さ÷3で求められます。図形の単位はpです。)
3点B、C、Dは1直線上にあるものとします。三角形ABCをACを軸に、三角形CDEをCEを軸にそれぞれ回転し、2点B、Dを重ねました。
このとき、この重なった点は机から□cmの高さのところにあります。

三角定規のセットを引っ張り出して、実際にやってみても良いのですが、通常の三角定規のセットですと、BCとCDの長さが異なりますので、なかなかうまくは出来ないのですが、それでも、どのような形になるのかはわかることと思います。しかし、そこからが難しいですね。

ここで、長い前置きが活きてくるのですが・・・お気づきですか?

図のAEに直線を書いて、さらに正方形にしてやると・・・ 先ほどの三角すいの展開図と同じになることに気づきます。 つまりこの問題で求める高さは、三角形ACEを底辺としたときの三角すいの高さと同じになるのです!

この展開図からできる三角すいの体積は

三角形ACEの面積は
4−(0.5+1+1)=1.5
あとは次の式を逆算します。

と求めることが出来ました。
長い前置きの意味がおわかりいただけたと思います。
基本的な事柄(これをイデアでは大工道具と呼んでいます。)を上手に使って、難しい家(応用問題・入試問題)を建築していく、これが応用力というわけです。

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